最大子矩阵——dp

描述

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵,你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 1)子矩阵。
比如,如下4
4的矩阵
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
的最大子矩阵是
9 2
-4 1
-1 8
这个子矩阵的大小是15。

输入

输入是一个N * N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。再后面的若干行中,依次(首先从左到右给出第一行的N个整数,再从左到右给出第二行的N个整数……)给出矩阵中的N2个整数,整数之间由空白字符分隔(空格或者空行)。已知矩阵中整数的范围都在[-127, 127]。

输出

输出最大子矩阵的大小。

样例

  • Input
    4
    0 -2 -7 0
    9 2 -6 2
    -4 1 -4 1
    -1 8 0 -2
  • Output
    15

题解

用Map[i][j]来表示ij位置的矩阵前缀和。如下图(借用一波左学姐的图/xyx),要求宽为(i−j)这么宽的最大区间和,就可以把i到j行按列加到一起,然后就转换成了求一维数组最大子段和,每一个元素就是红色区域。下图矩阵a的红色区域就可以表示为: Map[i][k]−Map[i][k−1]−Map[j−1][k]+Map[j−1][k−1]。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define INIT(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define LL long long int
using namespace std;
const int MAX=0x7fffffff;
const int MIN=-0x7fffffff;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int Mod=1e9+7;
const int MaxN=1e7+7;
int Map[105][105],N;
void initMap(){
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=1;j<=N;j++)
Map[i][j]+=(Map[i-1][j]+Map[i][j-1]-Map[i-1][j-1]);
}
int main(){
//freopen("1.in","r",stdin);
//freopen("1.out","w",stdout);
cin>>N;
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=1;j<=N;j++)
cin>>Map[i][j];
initMap();
int ans=MIN;
for(int i=1;i<=N;i++){
for(int j=1;j<i;j++){
int res=0;
for(int k=1;k<=N;k++){
int tem=Map[i][k]-Map[i][k-1]-Map[j-1][k]+Map[j-1][k-1];
//maxn[i]表示以a[i]为结尾的最大连续和,maxn[i]=max(a[i],maxn[i-1]+a[i]),这里不需要保存数据,直接用一个临时变量即可
res=max(res+tem,tem);
ans=max(res,ans);
}
}
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
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